专访数学大师阿诺德：那些年顶级数学家在莫斯科齐聚一堂

俄罗斯数学家阿诺德是20世纪最伟大的数学家之一，师从另一位伟大的数学家科尔莫戈罗夫，其天才可见于不满20岁就解决希尔伯特第13问题。 阿诺德一生做出了巨大的贡献，开辟了许多数学领域。 许多成果直接应用于物理学领域，开创了物理学研究的新局面。

在1995年对阿诺德的采访中，他想起了自己的学生时代聚集在莫斯科国立大学的许多数学大师，他自己的数学英雄； 也提到了不同风格的数学研究和教育，一如既往地反对布尔巴基学派和美国的研究风格。 在这些逸闻中，我们也能看到他闪烁的智慧火花。

执笔| S. H. Lui

翻译|哪个小鬼

utiliusscandalumnascipermitturquamveritasrelinquatur。

即使有引起丑闻的风险，也应该说实话。 ）

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弗拉基米尔阿诺德( vladimirarnol’d )现任捷克洛夫数学研究所( Steklov Mathematical Institute )和巴黎第九大学决策数学研究所( CEREMADE )数学教授。 阿诺德教授于1961年在莫斯科国立大学获得博士学位。 他在动力系统、奇点理论、稳定性理论、拓扑学、代数几何、磁流体力学、偏微分方程等领域做出了基础性贡献。 阿诺德教授获得列宁奖( Lenin Prize )、克劳福德奖( Crafoord Prize )、哈维奖)等多项荣誉和奖项。

阿诺德( vladimirarnol’d，1937-2010 )图片来源： mccme.ru

这次采访于1995年11月11日进行。 读者可能会对以下文章感兴趣。

1 ) 《对话弗拉基米尔阿诺德》 [ conversationwithvladimirigorevicharnol’d，S. Zdravkovska，The Mathematical Intelligencer，volume 9，pages

2 ) 《数学三艺》 [ amathematicaltrivium，v.I.arnol’d，Russianmath.surveys46:1(1991 )，271-278.]

3 ) 《俄罗斯数学还能坚持吗？》 [ willrussianmathematicssurvive？ v.I.arnol’d，noticesoftheAMS40:2(1993 ).]

4 ) 《为什么是数学？》 [Why Mathematics？ byv.I.arnol’dquantum，1994.]

5 ) 《数学还能坚持吗？在苏黎世大会上的报告》 [ willmathematicssurvive？ Report on the Zurich Congress，v.I.arnol’d，Mathematical Intelligencer，volume 17，pages 610 ( 1995 ).]

Lui :请告诉我你初期的教育状况。 你从小就对数学感兴趣吗？

阿诺德：俄罗斯的数学传统可以追溯到古老的商人问题。 小孩子在不知数字的情况下就开始考虑这些问题了。 5至6岁的孩子可以随心所欲地解开，但对受过正规数学训练的大学毕业生来说可能太难了。 作为典型的例子：

你从一桶酒里舀出一汤匙酒，把它放进茶里。 然后从茶杯里再舀一勺()不均匀！ 放回桶里。 现在杯子里有酒，桶里也有茶。 你操作结束时，杯子里的酒量和桶里的茶量哪个多？

年长一点的孩子，知道前面的数字。 例如，下一个问题。 简和约翰想买一本儿童读物。 简买这本书要花7美分，而约翰还要再花1美分。 他们决定一起只买一本书，但我发现钱不够。 这本书的价格是多少？ 要知道俄罗斯的书很便宜！ ）

许多俄罗斯家庭都有给孩子出题的传统，上百个这样的问题都被孩子们出了题，我的家庭也不例外。 我第一次有真正的数学体验是我们学校的老师I. V. Morozkin问了这样的问题。 两个老妇人在日出时出发，每个人都以一定的速度走着。 一个人从a点到b点，另一个人从b点到a点，它们在中午汇合，中途不停，分别在下午4点和晚上9点到达b点和a点。 这一天日出是什么时候？

我一整天都在想这个老问题，答案是发现。 (比例推理( scaling arguments )、维度分析( dimensional analysis )或圆环簇理论)为基础。 这取决于你的品味。 我发现时( 1949年)的感觉和后来发生更严重问题的所有感觉完全一样。 ——无论是发现实平面曲线的代数几何与四维拓扑的关系时( 1970年)，还是发现焦散的奇异点时( singularities of caustics )与波面( wave fronts )的关系，都是单李代数

Lui :在莫斯科国立大学学习是什么感觉？ 你能和我谈谈这些教授吗？ 彼得罗夫斯基( Petrovskii )、科尔莫戈罗夫( Petrovskii )、庞特里亚金( pontriagin )、克劳林(注4 )…？

阿诺德： 20世纪93年代，当我还是学生的时候，莫斯科国立大学的力学和数学系( Mechmat )的气氛是S. Zdravkovska和P. L. Duren主编《莫斯科数学的黄金岁月》 ) goldenyearsofmoscowmathmath 特别是，我的文章是关于科尔莫戈罗夫的，他是我的导师。

我在力学数学系学习的时候，伟大的数学家们聚集在一起。 这非常罕见，我在其他任何地方都没见过这样的场面。 有科尔莫戈罗夫、盖尔基金[注5]、彼得罗夫斯基、庞特里亚金、诺维科夫[p.novikov][注6]、马尔科夫[注7]、格尔丰[注8]、柳斯特尼克[注8]的亚历克

科尔莫戈罗夫目前关于汉密尔顿系统KAM理论的工作，是他对所有二年级学生必修练习的副产品。 一个问题是研究一些非平凡的、完全可积累的系统(例如，重粒子沿水平旋转的环面运动)。 当时没有电脑！ 他观察到那些经典例子的运动都是准周期性的，试图在不可积的扰动系统中找到更复杂的运动(“混合”( mixing )，或者今天的话是“混沌”)的例子。

他的尝试没有成功。 促使他研究的这个问题仍然是未解决的——，不可能在一般受扰系统中找到携带混合流的不变环面。 但是，这项工作的副产物比最初混合的技术问题重要得多。 持久性非共振环面、“加速收敛”( accelerated convergence )方法和与函数空间相关的隐函数定理、哈密顿系统(例如陀螺仪和行星轨道)的运动稳定性证明、托卡马克

研究的结果比原来的问题更重要，这是普遍的现象。 哥伦布最初的目标是找到通往印度的新途径。 新大陆的发现只是副产物。

我在力学数学系学习的时候，庞特里亚金非常虚弱，但他可能是最好的讲师。 他刚从拓扑理论过渡到控制理论，他的性格也发生了很大的变化。 他在后来发表于《俄罗斯数学调查》 ( russianmathematicalsurveys (注18 ) )的自传中，说明了他转向应用数学的理由和反犹太主义思想。 当他向编辑委员会提交这篇文章时，国安会(苏联国家安全委员会，国安会)代表建议不要按原文出版。 因为那个观点太开放了。 我想用原文出版，现在你找到的都是加工润色过的。 有些人坚持说，他的反犹太主义可能只是恐惧的表现。 因为他可能有犹太血统，担心会被发现。

但是，庞特里亚金并不总是这样！ 战争期间，他最好的学生罗普林被德国人打伤入狱。 此后，洛普林被美国人释放，返回苏联，继续加入战争中的苏军部队。 有一天，他把被俘的德国军官交给上级时，遇到一个喝醉了的国安军官，马上开枪要杀了这个德国军官。 罗普林表示反对。 幸运的是，罗普林得到了他上司的帮助，上司马上把他调到了另一个小组。 但最终，洛普林被送到了俄罗斯北部的古拉格集中营，就像所有从德国集中营被盟军救出的人一样。

几个月后，一个从劳改营解放出来的人来到莫斯科，他告诉庞特里亚金，洛普林还活着，但在营地里挨饿，已经奄奄一息。 庞特里亚金在科尔莫戈罗夫、亚历山大洛夫等人的帮助下，写信给国安会领导人比利亚( Beria )，要求洛普林应该立即获释，因为他是他们这一代最有天赋的数学家。 比利亚签署了释放洛普林的命令，洛克林随后拿到了机关枪，成为了那个劳动营的警卫。 庞特里亚金等人给利比里亚写了第二封信，洛普林最终得以返回莫斯科。

克林明图片来源： wiki

罗普林从古拉格集中营回来后，无权获得莫斯科居民许可( propiska )。 ( Propiska是俄语，意思是只能在特定地区生活的——人不能自由地住在其他地方。 每个人都在追求Propiska！ 庞特里亚金完全失明，有权在莫斯科捷克洛夫研究所聘请私人秘书。 他勇敢地把这个职位给了洛普林。 罗普林后来成为拓扑学和动力系统中的苏联领军数学家之一。 罗普林对诺维科夫、西奈、阿诺德索夫、我等年轻一代数学家产生了巨大的影响，在圣彼得堡建立了非常重要的数学学院[注： 19] 他的优秀学生中有比尔希克[注20]、格罗莫夫[注21]、伊利亚施伯格[注22]、贝罗[注23]、舒丁[Eugeniishustiii]年代在莫斯科举行的研讨会上会见了他他从一百英里外来到莫斯科，只能住在那里。

罗普林是犹太裔，通过假扮穆斯林在德国收容所幸存下来。 其实，他出生在阿塞拜疆的巴库。 对庞特里亚金来说，为了帮助洛普林而找比利亚冒了很大的风险。 庞特里亚金成为反犹太人的积极分子后，他对洛普林的评价依然很高。 我和庞特里亚金的私交很好。 他邀请我去他家，参加他的学术讲座，他对我的研究真的很感兴趣。 特别是奇点理论( Singularity Theory )。 部分原因是我们在微分拓扑、控制论和博弈论方面的共同兴趣，以及另一个重要原因，他想在国际会议上反对我。 庞特里亚金当时是国际数学联盟( IMU )的苏联代表，极力阻碍数学会选出持不同政见的苏联学者。 我在黑名单上。 因为我和其他99名数学家签署了一封信，抗议一位完全健康的苏联数学家被关进精神病院。 这是消灭异议分子的一贯手段。 ) IMU一直非常政治化，所以他成功了。 在庞特里亚金的回忆中，他透露，许多IMU官员表达了互相批评的想法。 我想知道他们的名字。 巧合的是，我现在在他以前的位置，是俄罗斯国际数学联盟的代表。

彼得罗夫斯基当时是大学校长，在学术讲座之前经常和洛克林在电梯里见面。 我觉得被人看到他和罗普林在一起很危险。 当时彼得罗夫斯基的学术并不活跃，但对莫斯科数学界非常重要，他与共产党官僚们进行了艰苦的抗争，以支持真正的数学家们。

他的数学品味相当经典，基于意大利学派的代数几何而不是集合论。 迈克尔阿尔蒂亚爵士( Michael Atiyah )告诉我彼得罗夫斯基在关于微分方程的著作中处理代数几何的方式总是令人兴奋。 其中一篇关于双曲偏微分方程间隙( the lacunas of hyperbolic PDEs )的论文后来被阿蒂亚、博特(注26 )和加迪(注27 )用现代术语改写为两篇长篇论文， 在0755-776中发表的这是众所周知的事实的深刻概要——，虽然在偶数维空间中(例如，在“平面”世界中)不能进行音响通信，但是在我们的三维世界中很容易进行。 有趣的是，本文证明了彼得罗夫斯基在代数簇的候补上同构可以用有理微分形式表示。 该结果通常多亏了“格罗登迪克”( Alexander Grothendieck )。

彼得罗夫斯基( 1933年和1938年)关于实代数几何的工作(关于关于实平面代数曲线形状的希尔伯特第16问题)开辟了现代数学的重要分支——实代数簇的拓扑。 这一理论的结果(例如，方程阶数表示的贝塔系数的边界)在包括复杂性理论在内的许多数学分支中非常有用。 例如，霍万斯基[注28]在其Fewnomial理论[注29]，斯梅尔[注30]在“实际P-NP”问题的研究中应用了该理论。 西方通常认为这些结果属于汤姆[注31]和米尔诺[注32 ] 1965年的工作，但彼得罗夫斯基及其学生奥列尼克[注33]在40年代发表的论文中有更好的估计(注33 )

彼得罗夫斯基从来不是苏联共产党党员。 这是大多数苏联共产党不知道的。 他的影响力很大，部分原因是与以前学生的个人关系，他们在苏联官僚体系中获得了非常高的地位。 彼得罗夫斯基被选为苏联“集体领导人”苏联最高苏维埃主席团成员。 他在支持基础科学的会议上进行了长时间的斗争，随后心脏病发作摔倒在莫斯科党中央大楼的入口处。 最后一句话是"我赢了。 ”。

他去世后，苏共和国安会花了20年时间摧毁了力学数学系建立的数学中心。 当局停止聘用优秀人才担任教职，直到今天他们也终于摧毁了这个中心。

Lui :你能告诉我本科生和指导研究生的理念吗？ 俄罗斯和法国有多少研究生？

阿诺德：在我的指导下完成博士论文解答的有40人左右。 由于几个原因，我不能给出正确的数字。 “停滞期”不能在莫斯科大学指导外国研究生。 因为我不是苏共党员。 留学生还在跟着我做研究，名义上的领导是友好党员，他们拿着津贴。 研究生中还有其他导师，他们的论文来源于我研讨会的主题，实际上是我的学生。 例如S. M. Gusein-Zade、Yu. Ilyashenko和A. I. Neistadt。 现在莫斯科有2名本科生、3名研究生，巴黎有4名研究生。 还有两三个计划从一月开始。

我从学生，特别是本科生那里学到了很多东西。 我从来没有给学生布置过论文主题。 那就像包办婚姻一样。 我只是给他们看了已知的和未知的。

大约有30名数学家参加莫斯科的学术讲座。 很多是我以前的研究生，一直还有别人。 即使我在国外，讲座也会照常进行。 这个讲座持续了大约30年。 不同时期的参加者有西奈、阿列克谢耶夫、诺维科夫、孔采维奇[注34]、贡查洛夫[注35]、胡克斯[d.b.Fuchs][注36]、秋琳娜[注36]

莫斯科的生活很艰苦，很多学生除了研究以外还得赚钱谋生。 有些人开始自己创业，但莫斯科犯罪率很高，自己开公司做生意有生命危险。 莫斯科的研究生刚完成论文，还不能回答，几周前失踪了。 我们怀疑他是否还活着。

Lui :有崇拜的数学家吗？

阿诺德：巴罗( Isaac Barrow )、牛顿(但他是一个非常不受欢迎的人。 ——我的书《数学学报》 ) ( HuygensandBarrow，Newton and Hooke )，Birkhuser出版社1990年版)。 庞加莱( Henri Poincar)、闵可夫斯基( Hermann Minkowski )、外卢( Hermann Weyl )、科尔莫戈罗夫、惠特尼( H. Whitney (注39 )、汤姆、斯梅尔一半的数学家是我从克莱恩( Christian Felix Klein )的《惠更斯与巴罗、牛顿与胡克》 ) vorlesungenberdieentwicklungdermathematikim 19 )一书中知道的。 我从很多数学家那里学到了很多东西。 例如，盖尔范德、罗克林、诺维科夫、德里涅( P. Deligne )和胡克斯)； 从学生那里也学到了很多东西，例如：霍万斯基、内霍洛舍夫[注41]、瓦尔琴科[注42]、扎卡尔尤金[注43]、瓦西里耶夫[注44]、纪梵塔尔谢尔巴科夫( o.sc herbabakof )

我深深地感谢汤姆。 他在高等科学研究所( institutdeshautestudesscientifiques，IHS ) )举办的奇点研讨会，整个1965年我几乎都参加了，这个研讨会大大改变了我的数学观。 汤姆讨论数学的方式总是让我很开心。 他用的句子显然没有严格的逻辑意义。 虽然我从未完全摆脱逻辑的束缚，但我一直被不负责任、没有确切意义的数学思辨之梦所毒害。 据汤姆的学生说，“人们总是找傻瓜来证明定理”，这就是他的理念。

米尔诺1961年在列宁格勒发表了关于球面微分结构的演讲，给我的导师科尔莫戈罗夫留下了深刻的印象。 因此，他建议我把那些内容放在我的研究生课程里。 这迫使我从诺维科夫、福克斯和洛普林那里学习微分拓扑。 这个有用了。 因为一年后，我成为了诺维科夫关于球面乘积微分结构的论文答辩评委之一。

斯梅尔是1961年来莫斯科时遇到的第一位外国数学家之一。 他关于动力系统的研究，对俄罗斯和我个人的影响很大。

Lui :你注意到不同文化背景的人研究数学的方法有什么不同吗？

阿诺德：多年来我一直没有注意到这些差异，但差异确实存在。 几年前，我参加了在华盛顿特区召开的国际科学活动基金会( ISF )会议，为俄罗斯科学家提供了资金。 一位美国参与者提议支持俄罗斯数学家，说“他的工作是美国风格的”。 我大为困惑，要求他解释。 “啊，”那个美国人回答。 “这意味着他经常出差，在各种会议上展示他的最新研究成果，让这个领域的所有专家都认识他。 ’我的想法是，ISF应该更好地支持那些以俄罗斯风格工作的人。 也就是说，我坐在家里努力证明基本定理。 这些定理是数学永远的基础。

俄罗斯人的工资太低了。 如果有人要从事数学研究，对他来说那意味着数学是他的目标，不是赚钱的手段。 只要简单地改写西方所不知道的俄罗斯的古典成果和思想，就能在西方数学界获得很高的声誉。

俄罗斯人对知识、科学和数学的态度始终符合俄罗斯知识分子( intelligentsiya )的古老传统。 这个词在其他语言中不存在。 因为其他国家没有类似的学者阶层、医生、艺术家、教师等。 他们对社会贡献所得到的回报，将远远多于个人和金钱的利益。

我的朋友比尔希克在巴黎。 他最近想办美国签证。 “在圣彼得堡的工资是多少？ ”领事馆的工作人员问道。 听到他诚实的回答后，工作人员又问：“你想用这个工资说服他回圣彼得堡吗？ ”。 维尔希克回答说。 “当然。 钱不是一切！ ”工作人员非常震惊，比尔希克很快就拿到了签证。

一周前我也在申请签证。 他们把我列入等待名单，等三个星期。 理由是我的论文必须在华盛顿接受检查。 因为我是驴。 要求说明。 “嗯，”他们回答。 “每次犯罪都有狗、猫、老虎、骆驼等名字。 ’他们给我看了清单。 “驴”是俄罗斯科学家的代号。

俄罗斯数学传统的另一个特点是倾向于把所有的数学都看成一个活的生物。 在西方，很可能成为数学模型5的专家，对数学模型7一无所知[注47]。 就研究广度而言，广泛涉猎在西方被认为是负面的，相反，领域狭窄是俄罗斯无法接受的程度。

几个世纪以来，法国数学学派从事过勒鲁( Jean Leray )、亨利加尔滕( Henri Paul Cartan )、塞尔( Jean-Pierre Serre )、汤姆和瑟夫( Jean Cerf )等伟大而精深的工作布尔巴基学派( Bourbakists )主张，所有伟大的数学家——都用狄利克雷( Peter Gustav Lejeune Dirichlet )的话来说，用明确的思想代替盲目的计算。 布尔巴基宣言的这句话被翻译成俄语，“用盲目的计算代替明确的思想”。 审查是科尔莫戈罗夫，他精通法语。 我发现了这个错误，吓了一跳，去找科尔莫戈罗夫商量。 他回答：我认为翻译没有任何问题。 译者对布尔巴基风格的描述比他们自己说的更准确。 很遗憾，庞加莱( Henri Poincar)没有在法国建立学派。

法国科学院最近的讨论是体现法国学术界观念狭隘的典型例子。 格罗莫夫曾是外籍院士多年，他最近加入法国国籍，因此不再是外籍院士。 问题是把他变成一般的院士。 法国数学家们反对这一点，说：“这些位置是为了真正的法国人！ ”他主张。 在我看来，“真正的法国人”的候选人水平远远比不上格罗莫夫。 他是世界级的数学家之一。 最后，格罗莫夫还没有成为院士。

在法国教是非常难的。 因为学生们接受了布尔巴基公式化的训练。 例如，在巴黎第九大学四年级的动力系笔试中，问题是找出从某个给定的起点开始时间趋于无限大的相平面上的哈密顿方程的解的极限。 解法是在一鞍点的分离线( separatrix )上选取初始点，极限是鞍点。

准备考试题时，我犯了计算错误。 相曲线(包含初始点的能级曲线)现在是闭合椭圆，而不是分离线。 学生们发现了这一点，得出结论，即存在有限的时间t，在该时间点解会回到初始点。 使用唯一性定理，他们可以对于任意正整数n，导出解是nT时刻的值还是初始点。 而且，由于无限远时刻的极限与向着无限远时刻的时间序列的极限重合，得出极限等于初始点的结论，这个答案是由坐在试验大厅不同位置的几个优等生独立给出的。 所有这些推论都没有逻辑错误。 这确实是正确的估计，用计算机也能得到同样的结果。 但是，显然解决问题的人什么都不知道。 可以想象布尔巴基学派给学生施加了多么可怕的压力，把(明显不是傻瓜的)学生变成了推理机器！ 这种公式化的教育对任何实际问题都完全没有用，很危险，会导致切尔诺贝利式的悲剧。 糟糕的是，这种公式化的教育瘟疫在许多国家蔓延，其感染的数学前景不容乐观。

美国面临着另一种危险。 没有一位俄罗斯教授能正确解决美国研究生入学考试( GRE )问题。 从以下三个组中选择最接近“角度、度数”的组。 时间time，时间hour]； 面积area，平方英寸平方英寸和牛奶milk，配额。 所有的美国人很快就会给出正确的答案。 公式的正确答案是“面积，平方英寸”，一次是角度的最小单位，一平方英寸是面积的最小单位，说明每小时包含很多点，一夸脱包含两个品种。 我很奇怪为什么这么多美国人克服了这样的困难成为了大多数学者。 纽约一位成功解决问题的物理学家告诉我，他有一个准确表达这些出题者愚蠢的模型。

惠特尼告诉我，在一项针对14岁在校生的全国范围的测试中，关于数字80的120%大于、小于或等于80的问题，只有30%的学生得到了正确答案。 进行测试的人认为30%的学龄儿童理解。 但是，惠特尼向我解释说，就整体样本而言，真正了解的人数可以忽略不计。 由于有三种可能的答案，正确随机选择的统计预测为33%，还有5%的误差。

最近，就连美国科学院也决定了应该加强美国的科学教育。 他们建议从课堂上删去对美国孩子来说太难、不必要的科学事实，取而代之的是真正基础的、初步的知识，比如每个物体都有属性，每个生命都有天性！ (见nature 372:5606 December 8，1994.[注48] )毫无疑问，他们在这方面会走得很远！ 两年前，我在《数学在19世纪的发展》(USAToday )中读到，美国父母为不同年龄段的孩子列出了真正需要的知识清单。 10岁的时候，他们必须知道水有两种状态，15岁的时候，月亮有不同的月相，绕着地球旋转。 在俄罗斯，我们在小学低年级[注： 49]就教孩子们水有三种状态，但短期内，新的美国文化一定会胜利。 但是，在自由的美国体系中，有一些显著的优点。 例如，高中生可以选修爵士乐历史课而不是代数。

惠特尼去世前几个月，他活跃在普林斯顿高等研究院，给我讲了他的数学研究。 他曾是耶鲁大学小提琴专业本科生，次年被送到欧洲最好的音乐中心之一。 很遗憾，我忘了是哪个城市，但确实离阿尔卑斯山不远。 因为他已经是登山运动员了。 在那里，学生必须通过与自己专业不同的科目的考试。 惠特尼问同学当时最受欢迎的科目是什么，并告诉他们这是量子力学。 第一节量子力学课后，他是那位著名的授课老师(泡利？ 薛定谔？ 还是苏菲？“亲爱的教授老师，你的课好像有点不对劲。 我是耶鲁最好的学生，但你的课我还是一句话也听不懂。 ”得知惠特尼是音乐专业后，老师礼貌地回答。 “这是因为需要微积分和线性代数等背景知识。 ”惠特尼说，“那我希望这些不像你的课那么新。 应该有人写了教科书。” 授课老师教了惠特尼几本教材。 请告诉我这件事发生的地方，这位教授的名字，还有知道这些书名字的人。 首先感谢你。 惠特尼对我说：“三周后，我能理解他的课了。 学期末，我从音乐专业转到了数学。”。

科尔莫戈罗夫最初也不是学数学的——，而是研究历史的。 他的第一篇论文于他17岁时在莫斯科大学由巴赫罗欣[注50]组织的研讨会上发表。 科尔莫戈罗夫根据对诺夫哥罗德[注51]中世纪税收记录的分析得出了一些结论。 谈话结束后，科尔莫戈罗夫问巴赫罗欣是否同意这些结论。 “年轻人，”教授说。 “历史学至少需要五个证据。 ”。 第二天，科尔莫戈洛夫搬到了数学系。 他去世后，这篇论文被从文件中找出重新出版，历史学家认为他的结论是正确的。

Lui :你能谈谈纯数学和应用数学吗？

阿诺德：根据路易斯巴斯德( Louis Pasteur )，不存在应用科学的——是科学的应用。 纯粹数学家和理论物理学家对应用数学界的普遍看法是，应用数学家由无能为力的思考者组成，无法获得科学上重要的东西，有些人对金钱比对数学更感兴趣。 我不认为应用数学界完全符合这一特性，但请参阅我的文章《今日美国》 (发表于apologyofappliedmathematics，1996年Russian Mathematical Surveys )。 这篇文章总结了我在1995年7月汉堡工业和应用数学国际会议开幕式上的演讲。 我认为纯数学和应用数学的区别不是科学而是社会。 纯粹的数学家通过数学发现获得报酬，而应用数学家通过解决特定问题获得报酬。

哥伦布扬帆起航时，他像应用数学家一样，寻求找到通往印度的道路这一具体问题的解决方案。 新大陆的发现比作为纯粹数学家的贡献更好。 我认为伽利略的发现(他很快在美国的商业化风格中利用了其成果)不如纯粹的哲学家帕斯卡的那些重要。 真正的危险不是应用数学家们本身，而是数学和数学教育的形式化(我认为这就是犯罪)导致的纯粹的数学和科学的分离。 希尔伯特布尔巴基( Hilbert-Bourbaki )的公理演绎数学描述在本世纪上半叶占主导地位。 幸运的是，现在正处于庞加莱式几何数学的统一趋势，深刻的理论洞察力与现实世界的应用相结合。

顺便说一下，我在最近的美国书上看到了几何，据说是一种在冗长的计算中不会犯错误的艺术。 我认为这是几何学的低估。

我们的大脑有两个半球。 一个负责多项式的计算和语言，另一个负责图形在空间中的定位和现实生活中的一切重要事情。 当我们同时利用两个半球时，数学是几何学。 见thegeometryofformulae bya.g.khovanskiiinthesovietsci.rev.Sect.c:math.phys.rev.v4 ( 1984 )。

编者注：本文印发时，阿诺德根据后来的通信和事件，提出了采访的新改版。 但是编辑部收到太晚了，不能放进文章里。

译者注

[1]彼得罗夫斯基( Ivan Georgievich Petrovsky，1901-1973 )，苏联数学家，偏微分方程专家。

[2]柯尔莫戈洛夫( Andrey Nikolayevich Kolmogorov，1903-1987 )，20世纪最具影响力的数学家之一。 在现代数学的许多领域都有重要的影响，特别是在调和分析、概率论、集合论、信息论、数论、拓扑学方面做出了重要的贡献。

[3]列夫庞纳基( Lev Semyonovich Pontryagin，1908-1988 )，苏联数学家，在拓扑、代数、动力系统方面均有重要贡献。

[4]脯氨酸( Vladimir Abramovich Rokhlin，1919-1984 )，苏联数学家在代数拓扑和几何方面有重要贡献。

[5]盖尔范德( Israil Moiseevic Gelfand，1913-2009 )、柯尔莫哥洛夫的学生在群论、表示论、泛函分析等诸多领域都有重要贡献，在数学教学方面有极大的影响。

[6]彼得诺维科夫( Pyotr Sergeevich Novikov，1901-1975 )，集合论、数理逻辑和算法理论群论专家。

[7]安德烈马尔科夫( Andrey Andreevich Markov，1903-1979 )，俄罗斯著名数学家安德烈马尔科夫( Andrey Andreyevich Markov，18561922 ) )，主要是波特

[8]格尔范特( Aleksandr Osipovich Gelfond，1906-1968 )，他深入发展了超越数论和复函数的插值理论和逼近理论，解决了希尔伯特第七个问题。

[9]柳斯特尼克( Lasar&amp； #039； Aronovich Lusternik，1899-1981 )，泛函分析领域专家。

[10]亚历山大辛( Aleksandr Yakovlevich Khinchin，1894-1959 )，苏联概率论学派的主要数学家之一，在数论、概率论和统计物理方面均有杰出贡献。

[11]帕维尔亚历山大洛夫( Pavel Sergeyevich Alexandrov，1896-1982 )为集合论和拓扑学做出了杰出的贡献，其编写的教材影响较大。

[12]尤里曼宁( Yuri Ivanovich Manin，1937-)是非交换代数几何的奠基人之一，对微分方程、数论、范畴论和物理学做出过杰出贡献，也是最早提出量子计算理论的数学家之一。

[13]雅科夫西奈( Yakov Grigorevich Sinai，1935-)，俄裔美国人数学家，科尔莫戈罗夫学生。 主要从事动力系统理论、遍历理论、数学物理研究，2014年获得阿贝奖。

[14]谢尔盖诺维科夫( Sergei Petrovich Novikov，1938-)、彼得诺维科夫的儿子因从事代数拓扑和孤子理论而闻名，在广义相对论、量子场论等方面也颇有建树。 1970年菲尔兹奖获得者，2005年沃尔夫数学奖获得者。

[15]弗拉基米尔阿列克谢耶夫( Vladimir Mikhailovich Alekseev，1932-1980 )，科尔莫戈罗夫学生，动力系统理论专家。

[16]阿诺德索夫( Dmitrii Viktorovich Anosov，1936-2014 ) )，庞特里亚金学生，动力系统理论研究专家。

[17]亚历山大基里洛夫( alexandrealeksandrovichkirillov，1936-)，盖尔范德的学生，在表现论、拓扑群、李群等领域有杰出的贡献。

[18] 《应用数学的歉意》是俄罗斯月刊Uspekhi Matematicheskikh Nauk的英文译本，创刊于1936年。

[19]俄罗斯科学院捷克洛夫数学研究所圣彼得堡分会( ST.petersburgdepartmentofsteklovinstituteofmathematicsoftherussianacademyofsciences )。

[20]研究维克( Anatoly Moiseevich Vershik，1933-)、示论、动力系统、扫描理论、几何学等诸多领域均有贡献。 他最有名的工作是无限对称群的表示，并将其应用于最长的增长子序列。

[21]格莫洛夫( Mikhail Gromov，1943-)，俄裔法国人数学家，在黎曼几何、辛几何、代数拓扑、集合几何群论和微分方程等领域均有杰出贡献。 1993年获得沃尔夫奖，2009年获得阿贝尔奖。

[22]伊利亚施伯格( Yakov Eliashberg，1946-)，拓扑和触摸拓扑创始人之一，2020年获沃尔夫奖。

[23]维罗( OlegYanovich Viro，1948-)，拓扑和代数几何专家，尤其擅长实代数几何、热带几何和扭结理论。 他是1983ICM (华沙)和2000ICM (巴塞罗那)的邀请报告员。

[24]图勒耶夫( Vladimir Georgievitch Turaev，1954-)量子拓扑的主要创始人利用经典拓扑的基本技巧，在三维流形的不变量理论、纽结理论中引入了新的思想和工具。

[25]哈拉莫夫( viatcheslavmikhailovichkharlamov，1950-)俄裔法国人数学家，代数几何和微分拓扑专家。

[26]博特( Raoul Bott，1923-2005 )，匈牙利裔美国人，在几何方面做出杰出贡献，2000年获沃尔夫奖。

[27]加丁( Lars Grding，1919-2014 )，瑞典数学家，在偏微分方程领域有杰出贡献。

[28]霍万斯基( Askold Georgievich Khovanskii，1947-)研究领域交换了代数几何、代数、奇点理论、微分几何和微分方程，发展了代数几何中的圈和牛顿多面体理论。 创立了稀疏多项式理论。

[29] Fewnomial theory是一种研究特殊类型多项式的理论，fewnomials又称为稀疏多项式sparsepoly nomials或缺项多项式lacunarypoly nomials，给定它们的项数，系数和次数可以变化

[30]斯蒂芬梅尔( Stephen Smale，1930-)，美国数学家，菲尔兹奖( 1966 )和沃尔夫奖( 2007 )获得者，在拓扑、动力系统、数理经济学等方面做出过杰出贡献

[31]雷内托( Ren Thom，1923-2002 )，法国数学家，突变理论创始人，1958年菲尔兹奖获得者。

[32]约翰米尔诺( John Willard Milnor，1931-)，美国数学家，在微分拓扑、K-理论、动力系统等方面均有杰出贡献，获数学三大奖(菲尔兹奖)、沃尔夫奖( 1989年)

[33]奥立尼克( Olga Arsen&amp； #039； evna Oleinik，1925-2001 )，乌克兰数学家，偏微分方程专家。

[34]孔采维奇( Maxim Kontsevich，1964-)，法国高等科学研究所) IHS )教授，1998年菲尔兹奖获得者。

[35]贡查洛夫( Alexander Goncharov，1960-)，耶鲁大学教授，盖尔范德学生。

[36]与胡克斯( D.B.Fuchs，1939-)、俄裔美国人数学家、拓扑理论专家盖尔范德共同创立了无限维李代数的上同调理论。

[37]伽利略( Galina Nikolajewna Tjurina，1938-1970 )，是一位活跃于20世纪60年代苏联顶尖数学家中的女数学家，主要研究代数几何。

[38]安德鲁秋林( Andrei Nikolajewitsch Tjurin，1940-2002 )，主要从事代数几何研究。

[39]哈斯勒惠特尼( Hassler Whitney，1907-1989 )，美国数学家、奇点理论创立者之一，获1982年沃尔夫奖。

[40]德里奈( Pierre Deligne，1944-)、比利时数学家格罗滕迪克的学生获得菲尔兹奖( 1978 )、沃尔夫奖( 1978 )、阿贝尔奖) 2013年证明Weil的猜想很有名

[41]内霍罗夫( Nikolai Nikolaevich Nekhoroshev，1946-2008 ) )在汉密尔顿系统、微扰理论等方面均有杰出贡献。

[42]瓦尔琴科( Alexander Nikolaevich Varchenko，1949-)在几何学、拓扑学、组合数学、数学物理等领域都有杰出的贡献。

[43]卡萨尔尤金( Vladimir Zakalyukin，1951-)在奇点理论和动力系统等领域做出了杰出的贡献。

[44]瓦西里耶夫( Victor Anatolievich Vassiliev，1956-)、拓扑学、奇点理论、积分几何学、计算复杂性理论等均有杰出贡献，提出纽结理论中的Vassiliev不变量。

[45]纪梵塔尔( Alexander Givental，1958-)，俄裔美籍学者，主要研究拓扑与奇点理论及拓扑弦理论的关系等。

[46]戈什诺夫( Victor Vladimirovich Goryunov，1956-)在奇点理论、辛流形、触摸几何等方面均有杰出贡献。

[47]这里以初等数论中的模p同余为例。 例如，整数类型5可以将所有整数分成五个类，每个整数都可以用5t s的形式写。 其中t是整数，s是{ 0，1，2，3，4 }中的一个。 整数类型7是相似的。 每个整数可以用7p q的形式写。 其中p是整数，q是{0、1、2、3、4、5、6}中的一个。

[48] Macilwain，c.academyreportbacks&amp； #039； scienceforall&amp； #039； plan.nature 372，489 ( 1994 )。

https://doi.org/10.1038/372489a0

[49]原文Primary school在美国一般指小学三、四年级以下。

[50]巴赫罗欣( Sergei Vladimirovich Bakhrushin，1882-1950 )，俄罗斯著名历史学家。

[51]诺夫哥罗德( Novgorod )的历史重要性很高，中世纪是大公国，被编入莫斯科大公国。 历史学家Boris Kiselev评价说：“彼得大帝打开了通往欧洲的窗户，而中世纪的诺夫哥罗德已经打开了大门。”

回答者介绍

弗拉基米尔伊戈列维奇阿诺德(俄语(( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( () ) ) ) () ) ( ) )，1937年6月12日-2010年6月3日) )，俄罗斯数学家。 是20世纪最伟大的数学家之一，动力系统和经典力学等方面的大师。 1957年，他19岁时解决了希尔伯特问题，此后为许多数学领域做出了重要贡献，包括动力系统理论、突变论、拓扑学、代数几何、经典力学、奇点理论等。 他最著名的成果是关于可积哈密顿系统稳定性的KAM定理，即科尔莫戈罗夫-阿诺德-摩西定理。

记者S. H. lui

现任加拿大马尼托巴大学( University of Manitoba )数学系部长、教授，研究方向为数值分析，适用偏微分方程。

本文发表于hongkongmathematicssocietynewsletter，1996.2，原标题为an interview with Vladimir arnol & amp； #039； 在D，之后被从Notices of the AMS转载。 本论文经记者许可发表在《俄罗斯数学调查》。

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